Západočeská pobočka

Vynášíme délku tětivy

Při debatách na téma zpracování naexponovaného materiálu z výprav za zatměním, zachycujícího začátek a konec částečné fáze zatmění, padla otázka, zda je lépe vynášet do grafu přímo naměřenou délku tětivy, nebo její kvadrát. Jako vedlejší produkt těchto úvah by mělo být zauvažování o přesnosti takto dosažených hodnot a z toho plynoucích nároků na přesnost odměření prvotních údajů přímo z nafotografovaného materiálu.


Výsledkem je chyba metody, tedy odchylka při zpracování napozorovaných dat tou kterou metodou a její vyjádření, viz dále. Ale uvidíme, chyba může být při prokládání přímkou až 4 sekundy, oproti zanedbatelné chybě při použití paraboly.


Zde tedy opravdu nezbývá, než se pokusit o teoretický rozbor, vycházející čistě z geometrie průchodu obou těles a jednoduché matematiky. Pro naši potřebu postačí opravdu jednoduchý model: stejné poloměry obou těles a tento poloměr bude jednotkový, pozorování realizované přesně z osy zatmění, tedy ze středu měsíčního stínu, čas, který pro nás začíná okamžikem doteku a ideálně kruhové okraje obou těles, které se tedy zakryjí jen na nulový okamžik. (Zde se projevuje nelogičnost jednoduchého modelu, ale nám tento zcela postačí).

Pro přehlednost bude střed slunečního kotouče označen písmenem S, měsíčního M, okraje tětivy A a B, střed tětivy, tedy bod ležící na spojnici středů Měsíce a Slunce, písmenkem C.

Čas začíná okamžikem doteku obou těles bodem nula a běží rovnoměrně. V tento okamžik jsou středy obou těles vzdáleny dva poloměry. Oba středy se pohybují konstantní rychlostí. Jejich pohyb je tedy zcela rovnoměrný (lineární) vzhledem k plynutí času. Bod C, ležící uprostřed mezi oběma středy, má tedy také rovnoměrný (lineární) pohyb. Měřítko času zavedeme tak, aby v okamžiku splynutí obou středů byl roven jedné.

Nyní nás zajímá vzdálenost mezi středy a bodem C, která se mění rovnoměrně a známe její velikost na začátku a na konci. Vyjádříme-li její velikost v závislosti na čase, dostaneme:

|SC | = 1 - t

Nyní můžeme vypočítat délku tětivy, tedy vzdálenost mezi body A a B. Vypočteme ji jako dvojnásobek vzdálenosti bodů A a C, kterou vypočítáme pomocí Pythagorovy věty:

| AC | 2 = 1 2 - | SC | 2 = 1 2 - (1 - t)2 a po úpravě: | AC | 2 = 2t - t2
úprava: 1 2 - (1 - t) 2 = 1 - (1 - 2t + t2) = 1 - 1 + 2t - t2 = 2t - t2

Z čehož plyne: | AC | =

Délka tětivy je dvojnásobek, tedy: 2 | AC | = | AB | =

Výsledkem je tedy přesné vyjádření délky tětivy v závislosti na lineárně běžícím čase. Průběh bude připomínat křivku odmocniny, tedy strmý nárůst zpočátku, což se rychle změní na narůstání velmi pozvolné.

Prokládání této křivky je náročnější úkol, tedy není triviální, neboť odmocnina není vyjádřitelná pomocí polynomů. Dá se však zlinearizovat aplikováním inverzní funkce, což je v tomto případě mocnina dvou. Jednodušeji, zde mi právě odmocnina komplikuje situaci a umocněním se jí zbavím:

| AB | 2 =

úprava:

Po úpravě: | AB | 2 = - 4t2 + 8t

Vynáším tedy funkci 4t2 + 8t. Graf této funkce je parabola, má vrchol v bodě [1,4] a ramena směřují dolů (mínus před kvadratickým členem). Je to pochopitelné, tětiva je nejdelší v čase 1, měří dva poloměry, kvadrát je tedy čtyři a jinak její délka klesá, viz obrázek.

Na obrázcích je porovnání průběhu vypočtené délky tětivy s kvadrátem. Chyba určení okamžiku nula závisí na přesnosti proložení množiny bodů křivkou. Je vidět, že prokládat průběh kvadrátu je výhodnější. Výsledná křivka je parabolická, nikoli odmocninná a část paraboly, která připadá v úvahu, má již téměř lineární průběh.

Při hledání času nula prokládáním se dopouštíme jisté chyby, která závisí na metodě, tedy na použitém postupu. Proložení hodnot kvadrátu tětivy přímkou znamená metodu přiblížení se hodnotám skutečnosti s jistou chybou, protože parabola přímková není. Pokud by jsme proložili hodnotami kvadrátu tětivy parabolickou křivku, byla by chyba metody minimalizována a byla by oproti jiným nepřesnostem majícím vliv na výsledek zcela zanedbatelná.

Pro určení času konce částečného zatmění je, jak plyne z obrázku, situace naprosto shodná jako pro určení počátku, stále hledám průsečík proložené křivky s osou, tedy nulovou délku tětivy. Budeme tedy pro přehlednost hledat pouze průsečík v blízkosti bodu nula.


Hledáme přesnost různých aproximací

Následující úvahy se budou týkat souboru dat shromážděných pozorovateli ze západočeské pobočky ČAS (České Astronomické Společnosti), napozorovaných dle metodiky touto pobočkou zpracované, jichž se zpracování primárně dotýká, neboť odhad chyby závisí na množství napozorovaných dat. Věřím, že tento soubor je natolik typický, že reprezentuje alespoň přibližně i jiná pozorování a výsledek bude tedy použitelný i  pro ostatní skupiny.

Proložení přímkou

Linearizace nelineárních křivek vždy znamená část vztahu zanedbat. Ze vztahu kvadrát délky tětivy = 4t2 + 8t tedy zanedbáme záporný kvadratický člen. V okolí bodu nula má velmi malou hodnotu. Zbude nám tedy kvadrát tětivy = 8t. Porovnáme průběhy obou křivek a jejich rozdíl:

Čím dále se pohybujeme, tím více narůstá odchylka obou hodnot. Námi naměřené hodnoty budou ležet na křivce skutečných (přesných) hodnot a budeme se snažit být co nejblíže nule.

Tedy: Podle metodiky pozorování bylo uskutečněno přibližně dvacet expozic po dvaceti sekundách, jejichž začátek se shodoval se začátkem částečné fáze. Trvání částečné fáze až do začátku fáze úplné bude v našem modelu trvat 83.33 minut, tedy 5000 sekund (Skutečná délka trvání byla pro Salzburg 82,9 minuty). Přepočet je tedy pro představu 0,1 t = 8,33 minuty, neboli 500 sekund. Rozsah času, po který byl získáván soubor dat, je 400 sekund, v našich měřítkách času tedy přibližně 0,08 t.

Kvadráty naměřených hodnot tětivy by měly mít průběh podle parabolické křivky. Pokud proložíme tyto hodnoty přímkou, bude odchylka od parabolického tvaru záviset na podmínkách, které pro proložení stanovíme. Z důvodů reprodukovatelnosti a objektivity jsem pro stanovení přímkové aproximace použil počítačový program Excel z kancelářského balíku Office, který podobné výpočty umožňuje, pro jeho všeobecnou dostupnost a rozšířenost.

Pro výpočet přímky je použita metoda nejmenších čtverců pro celý rozsah dat bez jakékoli korekce, jenž je v programu Excel nazývána lineární trend.

Jako datový soubor jsem vzal přesné hodnoty délky tětivy z předchozích úvah, vypočtené pro daný časový interval. Dále jsem vynechal hodnoty pod t = 0,005, tedy prvních 25 sekund úkazu, neboť by chyba odečtení tak malého výseku tětivy u nich byla extrémně vysoká. (Mělo by se jednat jen o jednu hodnotu, tedy bod číslo 1). O chybách odečtení si však povíme ještě na konci této části. Počítáme-li tedy s 19 body, rozloženými přibližně po 20 sekundách od času nula, program vypočítá rovnici přímky, aproximující na tomto intervalu parabolu, takto:

y = 7,648 t + 0,005824

Vyneseme obě křivky do grafu a protože jsou velmi podobné, také jejich odchylku. Odchylka znamená rozdíl, o kolik je hodnota přímky nad parabolou:

2 40 0,008 0,000064
3 60 0,012 0,000144
4 80 0,016 0,000256
5 100 0,02 0,0004
6 120 0,024 0,000576
7 140 0,028 0,000784
8 160 0,032 0,001024
9 180 0,036 0,001296
10 200 0,04 0,0016
11 220 0,044 0,001936
12 240 0,048 0,002304
13 260 0,052 0,002704
14 280 0,056 0,003136
15 300 0,06 0,0036
16 320 0,064 0,004096
17 340 0,068 0,004624
18 360 0,072 0,005184
19 380 0,076 0,005776
20 400 0,08 0,0064

Ještě čistě pro názornost, pro někoho je obtížnější se orientovat v odchylkách, pokud přeženeme měřítka, vypadají oba průběhy, nahoře dosti podobné, takto:

Vidíme, že aproximace v blízkosti nuly a koncového bodu skutečnost převyšuje. Aproximovaná přímka je rovna nule (a tedy kvadrát tětivy je roven nule) v bodě:

0 = 7,648 t + 0,005824

=>

t = - 0,005824 / 7,648 = - 0,000761506

Po přepočtu na reálný čas vychází hodnota -3,8075 sekund, tedy čas určení doby prvního kontaktu T1 je posunut o  (velmi) zhruba čtyři sekundy před skutečný začátek tohoto úkazu!. Jiné metody proložení přímky mohou dát mírně odlišné hodnoty. Pokusíme se je tedy alespoň odhadnout:

  • Poprvé budeme ubírat body od počátku. Vezmeme tedy vždy o jeden počáteční bod méně a koncový bod ponecháme. Pokud by jsme ještě přidávali další hodnoty a počítali tedy s tím, že jsme napozorovali více materiálu, byly by výsledky spíše horší. Stále více bych "pokládal" linearizovanou křivku, neboť hodnoty nejvyšších časů jsou pod přímkou a tato by se k nim tedy více přikláněla.
  • Podruhé budeme ubírat data od konce, bereme tedy stále více v úvahu data v blízkosti nuly. Toto tedy bude přímku stvíce "napřimovat", takže také průsečík s osou bude stále blíže skutečnosti. Bohužel právě malé délky tětivy jsou odčítány se stále zvětšující chybou, viz dále, avšak my budeme nyní chyby odečtu zanedbávat:
Ubírání od začátku   Ubírání od konce
Počet hodnot Body Odchylka [s]   Počet hodnot Body Odchylka [s]
19 2 .. 20 3,807531381 19 2 .. 20 3,807531381
18 3 .. 20 4,416491964 18 2 .. 19 3,47947112
17 4 .. 20 5,042016807 17 2 .. 18 3,166666667
16 5 .. 20 5,684210526 16 2 .. 17 2,869022869
15 6 .. 20 6,343178622 15 2 .. 16 2,586445367
14 7 .. 20 7,019027484 14 2 .. 15 2,31884058
13 8 .. 20 7,711864407 13 2 .. 14 2,066115702
12 9 .. 20 8,421797594 12 2 .. 13 1,828178694
11 10 .. 20 9,14893617 11 2 .. 12 1,604938272
10 11 .. 20 9,893390192 10 2 .. 11 1,396303901
9 12 .. 20 10,65527066 9 2 .. 10 1,202185792
8 13 .. 20 11,43468951 8 2 .. 9 1,022494888
7 14 .. 20 12,23175966 7 2 .. 8 0,857142857

Nejpřesnější přímková aproximace je tedy zpočátku, co nejblíže času nula a s co nejméně hodnotami, což je ostatně očekávatelný výsledek. Odhady chyb, kterých se započtením těch či oněch bodů dopustíme, jsou v uvedené tabulce. Chyba metody je však ještě něco jiného než chyba, se kterou odečítáme vstupní data. První chybu jsme právě rámcově vyjádřili, o druhé si povíme. Bohužel, jak už jsme si řekli, právě data okolo bodu nula jsou nejméně přesná.


Prokládáme parabolou

Při aproximaci stejných počátečních dat (19 bodů) polynomem stupně dva (parabolou) je výsledná aproximovaná křivka:

y = - 4t2 + 8t + 3,17E-15

Až na absolutní člen je tedy aproximace zcela stejná jako původní křivka. Jak je patrno z výsledku, řád dosažené odchylky je patnáct řádů za desetinnou čárkou a přepočtením na absolutní čas, tedy v kterém okamžiku je tato křivka rovna nule, dává naprosto zanedbatelné hodnoty okolo řádů pikosekund. Chyba metody je tedy zanedbatelná a pravděpodobně vychází ze zaokrouhlovacích chyb programu (zde Excel).

Ubírání od začátku Ubírání od konce
Počet hodnot Body Odchylka [s] Počet hodnot Body Odchylka [s]
19 2 .. 20 2,22045E-12 19 2 .. 20 2,22045E-12
18 3 .. 20 2,22045E-12 18 2 .. 19 2,22045E-12
17 4 .. 20 6,66134E-12 17 2 .. 18 3,33067E-12
16 5 .. 20 7,77156E-12 16 2 .. 17 1,11022E-12
15 6 .. 20 1,44329E-11 15 2 .. 16 2,22045E-12
14 7 .. 20 4,44089E-12 14 2 .. 15 1,11022E-12
13 8 .. 20 2,9976E-11 13 2 .. 14 0
12 9 .. 20 2,22045E-11 12 2 .. 13 2,22045E-12
11 10 .. 20 1,36557E-10 11 2 .. 12 2,22045E-12
10 11 .. 20 8,65974E-11 10 2 .. 11 1,11022E-12
9 12 .. 20 2,88658E-10 9 2 .. 10 3,33067E-12
8 13 .. 20 -1,4988E-10 8 2 .. 9 3,33067E-12
7 14 .. 20 1,69975E-09 7 2 .. 8 4,44089E-12
6 15 .. 20 2,75113E-09 6 2 .. 7 4,44089E-12
5 16 .. 20 -9,43134E-10 5 2 .. 6 4,44089E-12
4 17 .. 20 1,60327E-08 4 2 .. 5 5,55112E-12
3 18 .. 20 0,0000000777611 3 2 .. 4 4,44089E-12

Při stejném zmenšování počtu prokládaných bodů jako u  přímky vždy vyšla chyba v obdobně nízkých řádech. Při odebírání od začátku jsem při posledních čtyřech bodech měl odchylku +3,2 E-12, při třech +1,5 E-11. Přepočet na sekundy je v tabulce, časová chyba metody je tedy i zde zanedbatelná, přibližně desítky nanosekund, pokud se dá věřit výpočtům na hranici zaokrouhlovací chyby. Při odebírání od konce jsou chyby ještě nižší. Dá se tedy říci, že i při minimálním počtu primárních dat je tato metoda schopna dát velice dobré výsledky.


Získávání dat:

Tak, máme naexponované a vyvolané políčko filmu, zachycující průběh částečné fáze a chceme z něho co nejpřesněji odečíst právě délku tětivy. Bohužel, tady narážíme na problémy větší, než by se mohlo zdát. Komu se nechce promítat negativy na stěnu a odhadováním odečítat ze hry světla a tmy, měl by se svěřit do péče techniky. V tomto případě už samozřejmě jistě techniky počítačové. Kdo má lepší scanner, neboli zařízení na digitální snímání grafických předloh, zde vyhrává.

Západočeská pobočka má k dispozici scanner na snímání předloh z negativů a fotografií o optickém rozlišení 2400 dpi. O jiném nežli optickém rozlišení zde nemá smysl hovořit, neboť bývá často dosahováno pouhopouhým zprůměrováním opticky nasnímaných bodů, velmi často až při zpracování v počítači, když už ne na samotné snímací jednotce.

Takovýto scanner je schopen nasnímat kinofilmové políčko do obrázku o rozměrech něco nad zhruba 2000x3000 bodů. Budeme vycházet ze situace, že se nám podařilo Slunce vyfotografovat dalekohledem o dostatečné ohniskové vzdálenosti, abychom měli sluneční kotouč přes celé políčko kinofilmu. Poté můžeme vzhledem k zaokrouhlení uvažovat průměr slunečního kotouče v digitální podobě 2000 obrazových bodů, neboli takzvaných pixelů a z toho je tedy poloměr kotouče roven 1000 pixelů.

Zcela ideální by bylo, pokud by v jednom obrazovém bodu byl povrch Slunce, patřičně světlý a na druhém už temné pozadí, které by okraj Slunce vykusovalo. Bohužel, tak tomu není, přechod mezi světlem a tmou, Sluncem a Měsícem, Sluncem a pozadím zabírá dejme tomu čtyři pixely. Situace na rozích srpků, které nás právě zajímají, je ještě horší.

Chyba odečtu je polovina, neboli 2 pixely, ovšem odečítám dva body, takže vím vzdálenost dvou bodů s chybou 4 pixely, tedy absolutní chyba je 0,004. Pro tuto situaci máme graf i  tabulku:

Číslo bodu Čas sec Čas t Tětiva Tětiva v pixelech Relativní chyba
0 0 0 0 0 0
1 20 0,004 0,178706463 178,7064632 0,022383074
2 40 0,008 0,252475741 252,4757414 0,015843106
3 60 0,012 0,308907753 308,9077532 0,012948849
4 80 0,016 0,356336919 356,3369192 0,011225331
5 100 0,02 0,397994975 397,9949748 0,010050378
6 120 0,024 0,435541043 435,5410428 0,009183979
7 140 0,028 0,469961701 469,9617006 0,008511332
8 160 0,032 0,501900389 501,9003885 0,007969709
9 180 0,036 0,531804475 531,8044753 0,007521561
10 200 0,04 0,56 560 0,007142857
11 220 0,044 0,58673333 586,7333295 0,006817407
12 240 0,048 0,612196047 612,196047 0,006533855
13 260 0,052 0,636540651 636,5406507 0,006283966
14 280 0,056 0,6598909 659,8909001 0,006061608
15 300 0,06 0,682348884 682,3488844 0,005862104
16 320 0,064 0,704 704 0,005681818
17 340 0,068 0,724916547 724,9165469 0,005517877
18 360 0,072 0,745160385 745,1603854 0,005367972
19 380 0,076 0,764784937 764,7849371 0,005230229
20 400 0,08 0,783836718 783,8367177 0,005103104
21 420 0,084 0,802356529 802,3565292 0,004985315
22 440 0,088 0,8203804 820,3803996 0,004875787

Jak je vidět, relativní chyba se v nule přibližuje číslu 2,5 %, při použití kubické aproximace je v nule rovna 2,65 %. Čas t = 0,004 odpovídá po přepočtu 20 sekundám, neboli už po tak krátké době zaujímá tětiva tolik pixelů, že relativní chyba odečtu je 2,2%. V čase t = 0,008, neboli prvního bodu, který jsme zahrnuli do předchozích výpočtů, je teoretická chyba odečtu rovna 1,58 %. Absolutní chyba odečtu tětivy je stále stejná, tedy plus a mínus 0,004 poloměru.

Musíme brát v úvahu vždy nejhorší možné varianty, které vytvoří dvě obalové křivky všech hodnot, které mohou nastat. Tyto pak proložíme křivkami a získáme body na časové ose, za které se již při dané přesnosti (či spíše chybovosti) nemůžeme dostat. Vzdálenost těchto bodů dá rozsah časové nepřesnosti, jakou nepřesné získání vstupních dat přineslo.

Pro proložení bodů křivkou je nejvhodnější parabola a sice pro její velmi přesnou aproximaci získaných dat.

Jako první jsem vzal všech 19 bodů. Pokud přičtu hodnotu absolutní chyby 0,004, dostanu rovnici první aproximované křivky:

y1 = -4,41 t2 + 8,09t + 0,0014

Pokud ji odečtu, dostanu rovnici druhé:

y2 = -3,58 t2 + 7,91t - 0,0014

Opět jsem vzal aproximaci polynomem druhého stupně bez jakýchkoli dalších podmínek. První rovnice prochází nulou v čase t = 0,000179, což je v přepočtu 0,896 sekundy po začátku úkazu a druhá v čase -0,897 sekundy, což je zhruba sekundu před začátkem.

Tabulka výsledků pro ubírání zepředu:

Bodů Body Bod y = 0[s] s + odchylkou Bod y = 0[s] s - odchylkou
19 2 .. 20 -0,896768341 0,897684897
18 3 .. 20 -0,971595794 0,973012306
17 4 .. 20 -1,031881709 1,033614394
16 5 .. 20 -1,083094335 1,085044314
15 6 .. 20 -1,128018791 1,130126106
14 7 .. 20 -1,168290354 1,170515749
13 8 .. 20 -1,204959735 1,207276072
12 9 .. 20 -1,238745974 1,241133703
11 10 .. 20 -1,270164744 1,272609322
10 11 .. 20 -1,299599569 1,302089894
9 12 .. 20 -1,327344114 1,329871522
8 13 .. 20 -1,35362867 1,356186278
7 14 .. 20 -1,378637464 1,381219723
6 15 .. 20 -1,402520395 1,405122764
5 16 .. 20 -1,42540122 1,428019939
4 17 .. 20 -1,447383403 1,450015355
3 18 .. 20 -1,468554372 1,471196798

A tabulka výsledků pro ubírání odzadu:

Bodů Body Bod y 0[s] = s + odchylkou Bod y 0[s] = s - odchylkou
19 2 .. 20 -0,896768341 0,897684897
18 2 .. 19 -0,881203114 0,882169428
17 2 .. 18 -0,865250303 0,866269217
16 2 .. 17 -0,848876428 0,849951043
15 2 .. 16 -0,832042891 0,8331766
14 2 .. 15 -0,814704819 0,815901347
13 2 .. 14 -0,79680957 0,798073017
12 2 .. 13 -0,778294731 0,779629623
11 2 .. 12 -0,759085438 0,760496789
10 2 .. 11 -0,73909067 0,740584048
9 2 .. 10 -0,718198032 0,719779636
8 2 .. 9 -0,696266196 0,697942943
7 2 .. 8 -0,673113601 0,674893213
6 2 .. 7 -0,648500913 0,650391992
5 2 .. 6 -0,622102498 0,624114563
4 2 .. 5 -0,59345733 0,59560072
3 2 .. 4 -0,561878027 0,564163464

Dá se říci, že chyba odečtu 0,004 se na výsledném čase projeví odchylkou přibližně jednu sekundu na obě strany, pokud použiji všech 19 bodů. Pokud budeme uvažovat chybu odečtu 0,006, neboli plus mínus šest bodů, u všech 19 bodů se rozptyl časových hodnot zvětší na -1,39 sekundy a +1,37 sekundy před a po začátku.

Z těchto čísel vyplývá, že i když jsou čísla z blízkosti nuly získány s větší chybou, přesto dávají přesnější výsledky než přesněji naměřené hodnoty z oblasti vyššího času.

Také je vidět, že pokud bychom použili přímkovou aproximaci, budou tyto časy posunuty o chybu metody, neboli o  zhruba tři sekundy vpřed při použití všech bodů, nezávisle na chybě odečtu.


Závěr

Doufám, že Vám tyto údaje pomohou zvážit, jakých chyb jste se při svém zpracování napozorovaného materiálu asi dopustili a jak by ji mohlo ovlivnit třeba změnit metodu nebo počet uvažovaných dat. Nebyla zde ani zmíněna nepřesnost při odečítání časů, ve kterém byl ten či onen snímek pořízen, i když tady platí, že chyby, se kterou mám tyto údaje podařilo získat, se velmi (hlavně zpočátku) podobnou měrou podílejí i na přesnosti výsledku a není tudíž nějakých větších výpočtů potřeba. Statistické ošetření zdrojového souboru dat, jako vypuštění hodnot nejvíce vzdálených od předpokládaných, typicky nejvyšší a nejnižší, je doporučováno, ale do těchto přehledových výpočtů toto ošetření nebylo zahrnuto. Pokud v datech nejsou výraznější odchylky, nejsou tyto korekce nezbytně nutné.

Autor článku: Rostislav Medlín
Aktualizace: 9. 10. 2007

© 2006-2019 Západočeská pobočka České astronomické společnosti